प्रस्तुत हैं पुस्तक के कुछ अंश

कुछ प्रश्न ऐसे होते हैं जिनका हल खोजना बहुत कठिन होता है। इन प्रश्नों में बहुत सारी तकनीकों का प्रयोग कर इन्हें हल करने का मार्ग खोजना पड़ता है। इसके लिए बुद्धि-चातुर्य की आवश्यकता होती है।

सीधे-सीधे किसी फॉर्मूले में फिट करके इनके हल ज्ञात करके इनके हल ज्ञात नहीं किए जा सकते। इनके हल प्राप्त करने के लिए युक्तियाँ ही काम आती हैं। यथा संख्या 10000001 किस संख्या से विभाजित होगी ? यहाँ 10000001 को विभाजित करने वाली संख्याओं को तलाश करने के लिए अनेक युक्तियों का प्रयोग करना पड़ेगा। यह एक लंबी प्रक्रिया है।

हम कहें, ‘चौवन, पचपन और छप्पन यह एक सीधा-सादा प्रश्न है; परन्तु यदि कहें, ‘सतहत्तर, अठहत्तर और उन्हत्तर में कौन सी संख्या सबसे बड़ी है ?’ तब यह प्रश्न सीधा होते हुए भी अपने आप में थोड़ा पेचीदा है। इसी प्रकार छोटे-छोटे बच्चों, जो जोड़-घटाना सीख रहे होते हैं, से पूछा जाए कि रूमाल के चार कोनों में से एक कोना काट दिया जाए तो कितने कोने शेष बचेंगे ? यह उनके लिए मनोरंजन की बात है।

प्रस्तुत पुस्तक में सामान्य गणित के ‘पहेली’ वर्ग में आने वाले कुछ पेचीदे प्रश्नों का संकलन किया गया है, जो सामान्य व्यक्ति या गणित के विद्यालय स्तर के विद्यार्थियों के लिए मनोरंजन का साधन हो सकते हैं। ये प्रश्न पाठक के मन में गणित-अध्ययन के प्रति रूचि उत्पन्न करने के साथ-साथ उनका ज्ञानवर्द्धन भी करेंगे।

प्राक्कथन

कुछ प्रश्न ऐसे होते हैं जिनका हल खोजना बहुत कठिन होता है। इन प्रश्नों में बहुत सारी तकनीकों का प्रयोग कर इन्हें हल करने का मार्ग खोजना पड़ता है। इसके लिए बुद्धि-चातुर्य की आवश्यकता होती है। इन्हें ‘ट्रिक क्वेश्चंस’ कहते हैं। ‘ट्रिक क्वेश्चंस’ का दूसरा नाम ‘रिडिल्स’ भी है। हिन्दी में इन्हें ‘पेचीदा प्रश्न’ या ‘पहेलियाँ’ कहेंगे। चूँकि ‘रिडिल्स’ का हल करना काफी कठिन और परेशान करने वाला होता है, अत: इनको पजल्स भी कहते हैं। पहेलियाँ उलझे प्रश्न होती हैं। सीधे-सीधे किसी फॉर्मूले में फिट करके इनके हल करके इनके हल ज्ञात नहीं किए जा सकते। इनके हल प्राप्त करने के लिए युक्तियाँ ही काम आती हैं। यथा संख्या 10000001 किस संख्या से विभाजित होगी ?

 यहाँ 10000001 को विभाजित करने वाली संख्याओं को तलाश करने के लिए अनेक युक्तियों का प्रयोग करना पड़ेगा। यह एक लंबी प्रक्रिया है। एक भाजक हो जाने पर अन्य भाजक प्राप्त करना अपेक्षाकृत सरल हो जाता है। यदि व्यक्ति परिश्रम करके इसके गुणनफल ज्ञात कर लेता है दूसरे व्यक्ति के सम्मुख इस प्रश्न को रखता है, तब यह प्रश्न उस व्यक्ति के लिए पहेली बन गया। पहेलियों के हल पेचीदा तथा सरल भी हो सकते हैं अथवा दुरूह और श्रमसाध्य भी। पहेलियों की पेचीदगी ज्ञात होने पर उनका हल आसान हो जाता है। यथा-किसी व्यक्ति को नहीं मालूम कि एक से लेकर n तक की प्राकृतिक संख्याओं का योग n तथा इसके क्रमानुयायी n+ के गुणनफल का आधा होता है, तब एक सरल आंकिक प्रश्न कि 1 से 100 तक प्राकृतिक संख्याओं का योग क्या होगा, एक ‘पहेली’ ही है। पहेली कुछ विशिष्टता लिये एक सामान्य प्रश्न मात्र होती है। पहेलियों के गुण निम्नलिखित हैं-

1.    भाषा में लपेट
2.    कूट भाषा
3.    अज्ञात तकनीक
4.    विरोधाभास
5.    व्यापक क्षेत्र की अविख्यातता
6.    जटिलता
7.    काव्यात्मकता
8.    सरल प्रमाण।

सामान्यत: हम लोगों को कहते हुए सुनते हैं, ‘पहेलियाँ मत बुझाओ, जो भी कहना है सीधे-सीधे कहो।’ इस बात से स्पष्ट है कि पहेलियाँ बुझाने का अर्थ कि किसी बात को सीधे-सीधे न कहते हुए रहस्यपूर्ण बनाकर व्यक्ति की जिज्ञासा जाग्रत कर प्रश्न में रोचकता लाना। पहेलियाँ साधारण प्रश्न ही होते हैं, परन्तु इनको प्रस्तुत करने का ढंग अलग होता है। हम कहें, ‘चौवन, पचपन और छप्पन यह एक सीधा-सादा प्रश्न है; परन्तु यदि कहें, ‘सतहत्तर, अठहत्तर और उन्हत्तर में कौन-सी संख्या सबसे बड़ी है ?’ तब यह प्रश्न सीधा होते हुए भी अपने अंदर एक रहस्य लिए है। अतः यह एक पहेली बन गया, क्योंकि इस प्रश्न का गलत उत्तर देकर व्यक्ति स्वयं अपनी मूर्खता पर हँसता है। यह रहस्ययुक्त प्रश्न है, जो विनोद का वातावरण उत्पन्न करता है। आप में थोड़ा पेचीदा है। इसी प्रकार छोटे-छोटे बच्चों, जो जोड़-घटाना सीख रहे होते हैं, से पूछा जाए कि रूमाल के चार कोनों में से एक कोना काट दिया जाए तो कितने कोने शेष बचेंगे ? यह उनके लिए मनोरंजन की बात है। प्रस्तुत पुस्तक में सामान्य गणित के ‘पहेली’ वर्ग में आने वाले कुछ पेचीदे प्रश्नों का संकलन किया गया है, जो सामान्य व्यक्ति या गणित के विद्यालय स्तर के विद्यार्थियों के लिए मनोरंजन का साधन हो सकते हैं। ये प्रश्न पाठक के मन में गणित-अध्ययन के प्रति रूचि उत्पन्न करने के साथ-साथ उनका ज्ञानवर्द्धन भी करेंगे।

-वीरेंन्द्र कुमार

अध्याय 1
सरल बाल पहेलियाँ

1.    एक पेड़ पर पचास चिड़िया बैठी हैं। एक शिकारी आता है और शिकार करने के लिये अपनी बंदूक से गोली चला देता है, जिससे दो चिड़ियाँ तुरन्त मर जाती हैं और पेड़ के नीचे गिर पड़ती हैं। बताओ, कितनी चिड़िया पेड़ पर रह गईं ?
2.    बच्चों ! मैं अपने रूमाल के चारों कोनों में से एक कोना कैंची से काट दूँ तो रूमाल में कितने कोने शेष रहेंगे ?
3.    धूप में एक धोती को सूखने में एक घंटा लगता है, तो दस धोती सूखने में कितना समय लगेगा ?
4.    एक दरजी एक दिन में एक सूट सिल देता है, तो दस दरजी दस दिन में कितने सूट सीएँगे ?
5.    राम, हरी तथा पवन के पिताओ की उम्र क्रमश: सड़सठ, अड़सठ और उनसठ वर्ष है। बताओ, तीनों लड़कों में से किस लड़के के पिता की उम्र सबसे अधिक है ?
6.    पन्नालाल ने अपने लड़के की शादी में 100 लोगों को दावत पर निमंत्रित किया। यदि एक व्यक्ति खाने में आधा घंटा लेता है, तो सब लोगों को भोजन करने में कितना समय लगेगा ?
7.    एक लकड़ी के 10 मीटर लंबे लट्ठे से एक-एक मीटर के बोटे काटे गए, यदि एक बोटा काटने में मुझे एक घंटा लगता है, तो 10 बोटे काटने में कितना समय लगेगा ?
8.    एक बंदर 10 मीटर लंबी चिकनी छत पर चढ़ता है। वह दो मीटर की छलाँग लगाने के बाद एक मीटर नीचे खिसक जाता है। तो बताओ, वह कितनी छलाँगों में छत के शिखर पर होगा ?
9.    100 आदमी एक पंक्ति में दावत खाने बैठते हैं। मुझे सूचना मिली है कि रमेश के पिताजी पंक्ति के बीचों-बीच बैठे हैं। बताओ, क्या यह सूचना सही है ?
10.    मुझे एक आँख से 1 किलोमीटर तक दिखाई देता है, दोनों आँखों से देखने पर कितने किलोमीटर स्पष्ट दिखाई देगा ?
11.    हमारे पास एक गिलास है, जिसमें आधा लीटर दूध आता है। बताओ, 100 लीटर दूध पीने के लिए कितने गिलासों की आवश्यकता होगी ?
12.    एक घंटी की आवाज वहाँ बैठे 5 लोगों को सुनाई देती है, दो तीन घंटियों की आवाज कितने लोगों को सुनाई देगी ?
13.     जहर की एक गोली भोजन के साथ खाकर एक कुत्ता मर गया, तो बताओ, ऐसी दस गोलियाँ भोजन के साथ खाकर कितने कुत्ते मर जाएँगे ?
14.    लाल रंग के लेंस लगे चश्मे से देखने पर सफेद रंग की चादर लाल दिखाई देती है, पीले रंग के लेंस लगे चश्मे से पीली और नीले रंग के लेंस लगे चश्मे से नीली। तो बताओ, रंगहीन लेंस लगे चश्मे से देखने पर यह चादर किस रंग की दिखाई देगी ?
15.    बच्चो, एक नाव अपनी क्षमता के अनुसार पूरी लदी है। उसमें पाँच बैल बैठे हैं। वे पाँच-पाँच किलोग्राम गोबर नाव में कर देते हैं। बताओ, नाव पानी पर तैरती रहेगी या डूब जाएगी ?
16.     एक टापू के 100 आदमी दूसरे टापू पर दावत खाने नाव द्वारा गए। नाव में इतनी क्षमता नहीं थी कि वह 100 से अधिक आदमी ले जा सके। सौ से अधिक आदमी ले जाने पर वह नाव पानी में डूब जाती। अत: मल्लाह ने 100 आदमियों के अलावा किसी को नाव में नहीं बिठाया। वे नाव पर अपने को सवार न किए जाने के लिए नाविक को कोसने लगे। नाव पानी में आगे बढ़ी जा रही थी। कुछ समय बाद नाव टापू पर पहुँच गई। लोगों ने भरपेट भोजन किया। एक-एक आदमी एक किलोग्राम भोजन खा गया, दावत खाकर वे सभी वापस आने के लिए नाव पर सवार हो गए, तो नाव पानी में डूब गई। ऐसा क्यों हुआ ? जब सौ आदमी सुरक्षित पहुँच गए तब सुरक्षित वापस क्यों नहीं लौट पाए ? कहीं लोगों की बद-दुआएँ तो नहीं लग गईं ?
17.     कोचीन बंदरगाह से एक जहाज टोकियों के लिए चला। इसमें 1000 आदमी तथा 500 टन खाद्य सामग्री लदी थी। जहाज का मार्ग एक माह का था। जहाज की क्षमता के अनुसार और अधिक सामान इस पर नहीं लादा जा सकता था। जहाज पर लदी खाद्य सामग्री का उपयोग करते हुए जहाज सिंगापुर पहुँचा। यहाँ से 60 किलोग्राम भार वाले चार और व्यक्ति जबरदस्ती जहाज पर सवार हो गए। बताओ, जहाज सिंगापुर से चलकर टोकियो सुरक्षित पहुँच जाएगा या मार्ग में डूब जाएगा ?
18.    दुर्गा मन्दिर में 50 दीपक जल रहे हैं। एक दीपक एक घंटे तक जलता है, तो पचास दीपक कितनी देर तक जलेंगे ?
19.     बच्चो ! एक दौड़ में रमेश तीसरे नंबर पर चल रहा है। यदि वह दूसरे नंबर वाले से आगे हो जाता है तो उसका कौन सा नंबर हो जाएगा ?
20.     बच्चो ! महेश के एक आँख है, परन्तु ललित के दो। दोनों एक-दूसरे के आमने सामने बैठे हैं। ललित को एक आँख दिखाई देती है और महेश को दो। बताओ किसको अधिक दिखाई देता है ?